I QUADERNI DELL'ALMANACCO
IL QUADRANTE D'ALTEZZA
di Franco Martinelli
La versione del quadrante da noi proposta
PREMESSA
Tale strumento non è una invenzione cinematografica ma un oggetto realmente esistito ed usato per molti secoli, in forme e dimensioni diverse, dagli astronomi dell’antichità. Anzi, fino all’invenzione del telescopio, esso è stato lo strumento fondamentale e principe con il quale venivano effettuate le misure nel cielo stellato. Tutti gli osservatori astronomici del passato avevano uno o più quadranti (tale è il nome dello strumento) di grandi dimensioni; alcuni erano addirittura enormi, in modo da aumentare la precisione di lettura, ed occupavano intere stanze appositamente costruite.
Nelle immagini che seguono è rappresentata una carrellata di tali strumenti.
Il quadrante murale di Copernico a Fraunberg
Quadranti di Keplero
(Osservatorio di Praga)
Antico quadrante dell'Osservatorio di Greenwich
In versione più ridotta era usato anche dai naviganti, che con l’Astronomia hanno sempre avuto legami molto stretti; ancora oggi lo usano sebbene la sua struttura sia radicalmente cambiata e, con successive trasformazioni e rielaborazioni, sia divenuto uno strumento ottico di grande precisione: il moderno sestante.
Ricostruzione dell'enorme quadrante murale
nell'Osservatorio di Samarcanda
Al tempo di Cristoforo Colombo l’Astronomia Nautica era praticamente inesistente. I viaggi transoceanici erano appena agli inizi e si navigava in vista della costa seguendone l’andamento e cambiando rotta in prossimità dei promontori. Era una navigazione di cabotaggio si direbbe oggi, de cabo a cabo come dicevano i navigatori spagnoli e portoghesi.
Le osservazioni del cielo stellato erano approssimative ed occasionali, più qualitative che quantitative e servivano a dare una indicazione in più al navigante quando questi era nell’incertezza e quando attorno a lui non c’era niente altro che il cielo come riferimento.
Cristoforo Colombo nel suo primo viaggio verso le Indie aveva con sé un quadrante. Questo è certo perchè egli lo cita espressamente più di una volta nel suo diario di bordo, assieme alle controverse misure da lui effettuate. Egli lo usava soltanto per misurare l’altezza della Stella Polare sull’orizzonte e tentare, pare inutilmente, di dedurre la latitudine della nave.
Il livello di conoscenze di Astronomia Nautica del tempo non consentivano di fare di più, ma era già molto per chi, in pieno oceano, non poteva misurare altro. Durante il viaggio di ritorno, alla data del 3 Febbraio 1493, Colombo cita anche, per l’unica volta, un astrolabio.I due strumenti non devono essere confusi; sebbene abbiano una parte in comune ed il secondo includa anche il primo, l’astrolabio era molto più complesso sia nell’uso che nella costruzione. Era uno strumento molto sofisticato, da veri professionisti; oggi lo definiremmo un computer portatile astronomico.
Un astrolabio arabo
Questa breve e stringata premessa storica ci serve per introdurre e giustificare le pagine che seguono e che sono dedicate alla descrizione e realizzazione di un quadrante tipo quello usato da Colombo. Il suo uso oggi non ha più alcun senso, ma dal punto di vista didattico continua ad essere uno strumento estremamente interessante e, tutto sommato, di facile realizzazione. Chiunque abbia un minimo, ma veramente un minimo, di manualità può provare a costruirne uno con qualunque materiale abbia a disposizione (compensato, legno, cartone, plastica). Per la parte più complessa, la costruzione delle scale graduate, ci penseremo noi fornendo su queste pagine, alla fine della trattazione, un modello prestampato e completo direttamente e immediatamente utilizzabile.
Lo strumento, essendo in sostanza un goniometro, può essere impiegato per scopi notevolmente diversi l’uno dall’altro ma che tutti si basano sullo stesso principio e sull’unica cosa che esso può fare egregiamente: la misura di un angolo verticale.
In queste note proporremo dunque non la costruzione di un semplice quadrante ma di uno strumento un po’ più complesso che ci possa fornire di volta in volta, la latitudine, l’altezza o la distanza di oggetti noti (costruzioni, montagne, ecc.) ed infine possa anche funzionare come orologio solare. Ovviamente non aspettatevi precisioni da strumentazione elettronica. Come gli altri strumenti già proposti in questa sede si tratta di un oggetto il cui scopo fondamentale è quello di soddisfare la didattica e la curiosità. Vedrete però che le misure saranno abbastanza attendibili, o per lo meno in linea con le esigenze di misurazione del passato.
PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
Il quadrante è costituito da un settore circolare ampio 90°. Su uno dei due lati del settore sono riportati due mirini attraverso i quali occorre puntare un oggetto in cielo, ad esempio una stella o il Sole. In prossimità del vertice del settore viene praticato un foro dal quale passa un filo a piombo.
La parte curva del settore è contrassegnata con una graduazione da 0° a 90°, in maniera tale che quando il lato con i mirini è perfettamente orizzontale il filo a piombo deve indicare il valore 0°.
Il quadrante dunque misura angoli verticali che possono essere l’altezza astronomica di astri o l’angolo sotto il quale si vedono oggetti materiali posti entro l’orizzonte dell’osservatore. Uno strumento siffatto è di facile realizzazione e veramente alla portata di tutti.
DETERMINAZIONE DELLA LATITUDINE
.
Il metodo è noto sin dalla antichità ed è ancora oggi utilizzato dai naviganti. La Stella Polare, tuttavia, non giace esattamente sul prolungamento dell’asse terrestre, se ne discosta attualmente di poco meno di un grado. Per trasformarne l’altezza in latitudine andrebbero dunque apportate delle opportune correzioni al valore indicato dallo strumento ma dato che la sua precisione è inferiore a tali correzioni possiamo senz‘altro trascurarle. Il nostro quadrante, se costruito correttamente e nelle dimensioni che più avanti proporremo, riesce a leggere gli angoli (e quindi la latitudine) con l’incertezza di circa un grado. Oggi ci pare un’enormità. Tale livello di precisione non è sicuramente accettabile eppure, prima dell’avvento di strumenti più sofisticati i marinai del passato si accontentavano di tale valore. Provate a misurare l’altezza della Polare. Fate diverse letture in giorni ed ore diverse, poi fatene la media aritmetica; vedrete che il risultato non si discosterà molto dalla latitudine della vostra città.
Un altro modo (anche questo utilizzato tutt’ora dai naviganti) è quello di osservare l’altezza del Sole a mezzogiorno. La latitudine, in questo caso, si ricava con la semplice formula
Lat = 90°-altezza +declinazione del Sole
Es. misurando in due località diverse una altezza (a mezzogiorno) di 35° il 21 Dicembre (declinazione=-23°.5 circa) e, ancora 35°, il 21 Giugno (declinazione=+23°.5) si ottengono le rispettive latitudini:
Lat = 90-35-23.5 = 31°.5 Lat=90-35+23.5 = 78°.5
Il problema è conoscere la declinazione esatta al momento dell’osservazione e stabilire quando è veramente mezzogiorno, cioè quando il Sole raggiunge la sua massima altezza sull’orizzonte.
Il primo problema lo si risolve inserendo sul quadrante una scala o tabella dei valori numerici delle declinazioni assieme ad una scala calendariale o, come preferivano gli antichi, zodiacale, in modo da sapere sempre il valore della declinazione (tra l‘altro ci servirà quando useremo il quadrante anche in funzione di orologio solare); oppure occorre procurarsi delle Effemeridi che diano, giorno per giorno, l’elemento richiesto. Il secondo lo si risolve in maniera empirica. Si comincia ad osservare il Sole di mattina; con successive osservazioni si noterà, ovviamente, che la sua altezza aumenta progressivamente ma sempre con maggiore lentezza. Ad un certo punto si osserva che l’altezza tende a stabilizzarsi dopo di chè torna a diminuire. Il valore, per così dire stabilizzato e massimo tra tutti quelli letti, è quello che dobbiamo prendere in considerazione. Poiché dall’altezza di culminazione si passa alla latitudine con una semplice operazione aritmetica sarebbe anche possibile disegnare sul quadrante un reticolato di curve che consentano di risolvere direttamente e graficamente il problema. Alcuni strumenti disponevano di tale funzione che noi però ometteremo per non complicare eccessivamente il quadrante che ci proponiamo di costruire.
Ci corre l’obbligo di precisare che la nostra non è una ricostruzione storica ed il reticolo che proporremo è sicuramente diverso da quello utilizzato a suo tempo da Cristoforo Colombo.
IL QUADRANTE COME OROLOGIO SOLARE
La cosa purtroppo non è così semplice nè immediata in quanto la correlazione altezza del Sole-ora locale è variabile non solo nel corso del giorno, ma anche dell’anno e dipende inoltre dalla Latitudine dell’osservatore.
Il primo problema lo si risolvere trasformando la scala di lettura delle ore in un particolare reticolo di linee curve (è quello che poi rende bello, interessante e un poco misterioso lo strumento), mentre per la latitudine non c’è niente da fare; lo strumento deve essere progettato e funziona correttamente solo per una data latitudine (e/o nelle sue immediate vicinanze).
Per chi è appassionato di calcolo accenniamo brevemente come sia possibile associare la altezza del Sole con l’ora solare.
Esiste una formula:
con la quale, nota l’altezza h del Sole, la sua declinazione e la Latitudine si ricava ciò che in astronomia è chiamato l’angolo al Polo. Tale angolo ci dice di quanti gradi il Sole, nel momento della misura, sia lontano dal meridiano geografico. Poiché ogni ora il Sole si sposta di 15° e poiché a mezzogiorno l’angolo al polo è pari a zero, con una semplice operazione è possibile desumere l’ora solare all’istante dell’osservazione. Se ad esempio dal calcolo si ricava, per una data altezza, l’angolo al polo di 30° ebbene, o sono le due del pomeriggio o le dieci del mattino in quanto 30° corrispondono esattamente a due ore di distanza dall’istante del mezzogiorno. Se l’angolo risultasse di 37°.5 sarebbero o le due e trenta, o le nove e trenta. Perché questa doppia possibilità? Perché il movimento in altezza di un astro è simmetrico rispetto al mezzogiorno; dal momento del sorgere la sua altezza aumenta continuamente da 0° ad un valore massimo che raggiunge quando passa in meridiano (istante del mezzogiorno vero in quanto l’astro ha percorso esattamente metà del suo cammino al di sopra dell’orizzonte) dopodichè torna di nuovo a diminuire per essere ancora 0° all’istante del tramonto. Lo strumento non è in grado di risolvere l’ambiguità tra i due possibili orari ma questo non crea problemi; l’osservatore è infatti in grado di stabilire sempre se è mattina o pomeriggio e adattare l’ora letta alla circostanza. Nel caso l’osservatore fosse in dubbio basterebbe misurare l’altezza del Sole a brevi intervalli; se questa aumenta le ore sono antimeridiane, se diminuisce sono pomeridiane.
Per inciso, la formula di cui sopra era usata dai naviganti per il controllo dei cronometri di bordo prima dell’avvento della radiotelegrafia. La navigazione astronomica moderna infatti necessita non solo del sestante ma anche di un orologio molto preciso che prende il nome di cronometro marino. Poiché per quanto un orologio possa essere preciso e stabile esso cumula nel tempo un errore sempre maggiore, è indispensabile che tale errore sia sempre noto e tenuto sotto controllo.
Quando le navi arrivavano in un porto, e quindi conoscevano con grande accuratezza la latitudine e la longitudine, se non era possibile confrontare i cronometri di bordo con altri ritenuti più precisi, veniva determinata l’ora mediante l’osservazione dell’altezza del Sole e quindi la correzione del cronometro.
Ma torniamo al nostro quadrante. Nelle vicinanze quindi della scala graduata in gradi di altezza possiamo disegnare, applicando la formula matematica di cui sopra, una nuova scala tarata in ore solari. Abbiamo già detto che l’associazione altezza-ora solare non è costante nel tempo in quanto il Sole è un astro a declinazione astronomica variabile.
Si costruiscono allora non una ma tutta una serie di scale graduate in ore in modo da poter utilizzare lo strumento durante tutto l’anno e comprese tra i valori massimi di declinazione che può assumere il Sole: - 23.48 nel giorno del Solstizio invernale e +23.48 al Solstizio estivo.
Se le scale vengono spaziate equamente ed opportunamente, unendo tutti i punti relativi alla stessa ora solare (stesso angolo al polo) si ottiene un reticolo simile a quello riportato in figura.
Le linee curve rappresentano le linee orarie e la posizione del filo a piombo sul loro sfondo consente di leggere l’ora solare, in relazione al periodo dell’anno.
La forma delle linee può variare notevolmente da quadrante a quadrante. Dipende da come vengono distanziate e distribuite le scale delle declinazioni. Alcuni quadranti riportano inoltre linee accessorie che, intrecciandosi tra di loro, ne rendono l’aspetto e la lettura abbastanza complicata.
Nel nostro progetto ci limiteremo alla rappresentazione più semplice possibile, anche se non la più opportuna e le curve avranno una forma diversa (una delle tante possibili) da quelle riportate nella figura schematica precedente.
Riportiamo qui di seguito diverse realizzazioni di quadranti d'altezza del passato in cui si può notare la complessità e la notevole variabilità dei tipi di reticolo utilizzati.
Le immagini sono state tratte dal libro Meridiane di J.Rhor, Ulisse Ed.La lettura dell’ora può creare qualche difficoltà dato che il filo a piombo interseca diverse linee orarie; quale di queste andrà considerata? In quale punto del filo a piombo dovremo effettuare la lettura? Semplice, nel punto corrispondente al periodo dell’anno. Se siamo al 21 Dicembre considereremo l’intersezione tra filo a piombo e linee orarie sulla scala indicata con Solstizio Invernale; il 21 di Marzo leggeremo l’ora sulla scala contrassegnata con la dicitura Equinozi e così via.
Per facilitare l’individuazione del periodo stagionale nel reticolo venivano riportate scale mensili o zodiacali come quelle qui a fianco.Spesso erano associati anche i valori numerici della declinazione del Sole e che potevano essere utilizzati per il calcolo della latitudine con il metodo dell‘altezza meridiana (come abbiamo già visto). Talvolta, anzi molto spesso direi, sul filo a piombo era praticato un piccolo nodo; prima di effettuare la lettura dell’ora lo strumento veniva regolato sulla data attuale. Il quadrante veniva ruotato in modo da portare il filo a piombo sulle scale delle date e il filo veniva fatto scorrere in modo da far coincidere il nodo con la data, quindi veniva bloccato. In tale maniera, qualunque fosse l’inclinazione dello strumento era il nodo deputato a materializzare la scala della data ed era la sua posizione rispetto alle linee orarie che forniva l’ora solare.
Un grosso problema era costituito dalla impossibilità di puntare direttamente il Sole, pena l’abbagliamento dell’osservatore. Per ovviare a tale inconveniente il Sole non veniva osservato direttamente attraverso i due mirini ma veniva fissato un piolino perpendicolare alla superficie del quadrante e giacente su una linea parallela al bordo superiore del settore. Per orientare il quadrante era sufficiente disporlo nel piano verticale del Sole ed in modo che l’ombra del piolino cadesse esattamente lungo la linea di riferimento.
I due traguardi erano utilizzati solo per le stelle o oggetti terrestri. Non tutti i quadranti del passato riportano i due mirini per il puntamento; in tal caso si utilizzava come linea di mira lo stesso bordo rettilineo superiore del quadrante.
Nella nostra riproduzione non abbiamo previsto i mirini per il puntamento, ma chi vorrà applicarli non avrà certo difficoltà.
Confrontando l’ora del quadrante con quella del vostro orologio troverete differenze anche notevoli. Questo non vuol dire che il quadrante funziona male; semplicemente come più volte abbiamo spiegato anche in altri articoli, le ore del Sole e quelle dell’orologio sono diverse e non coincidono; il quadrante, come d’altronde tutte le meridiane e gli orologi solari, misura il tempo vero mentre i nostri moderni orologi mostrano il tempo medio. Nel periodo invernale e nei casi peggiori la differenza può arrivare anche a 45 minuti; d‘estate, se ci sommiamo l‘ora legale estiva a ben 1 ora e 45 minuti.
LA REALIZZAZIONE DEL QUADRANTE
Otterrete il disegno in formato GIF a grandezza naturale. Sarà sufficiente quindi ritagliare tale disegno ed incollarlo pari pari su un supporto di legno compensato di adeguate dimensioni.
Tale supporto deve avere la forma di un settore circolare ampio 90° e di raggio di almeno 22 cm. circa. Il disegno va incollato in modo che la linea rossa tratteggiata ed indicata con la scritta UMBRA SOLIS sia perfettamente parallela al lato superiore del quadrante.
Praticate un forellino nel punto indicato dalla lettera A e fateci passare un filo sottile cui avrete fissato un piccolo peso; quello sarà il filo a piombo, l’elemento sensibile che permette di effettuare la lettura dell’angolo. Piantate un semplice chiodo in modo che sporga di almeno 2 cm. nel punto contrassegnato con la lettera B. Attenzione che sia il più possibile perpendicolare al piano del legno. Quello è il piolino la cui ombra dovremo fare in modo che risulti esattamente sovrapposta alla linea rosa tratteggiata quando vorremo chiedere al Sole che ora è.
Il quadrante-orologio è progettato per una latitudine di 45° ma può essere usato anche per latitudini limitrofe, diciamo da Roma in su.
In questa fotografia vedete il quadrante orientato per leggere l’ora. Notate l’ombra del chiodo proiettata lunga la linea di riferimento (Umbra Solis) ed il nodo la cui posizione rispetto alle curve orarie consente la lettura dell’ora locale (quasi le quattro del pomeriggio).
Nei pressi del Solstizio Invernale i rami delle curve orarie sono molto vicini tra di loro ed è quindi difficile apprezzare con la dovuta precisione l'ora istantanea. E' possibile ovviare a questo inconveniente dislocando le curve orarie in maniera leggermente diversa ma con una leggera complicazione del reticolo. Per semplicità abbiamo preferito proporre la soluzione più immediata ma chi è interessato a realizzare l'altro tipo di reticolo può liberamente contattarci. Saremo lieti di dare indicazioni in merito.
IL QUADRANTE COME TEODOLITE
Abbiamo imparato ad utilizzarlo come sestante e come orologio; stavolta lo utilizzeremo come un primordiale teodolite per determinare l’altezza di un campanile o la distanza che ci separa da una montagna.
La relazione che lega la distanza, l’altezza e l’angolo sotteso da un oggetto è di natura trigonometrica sono le seguenti:
h = d tan(a) e d = h / tan(a) Il quadrante, consentendo la misura dell’angolo alfa, ci permette di risolvere le relazioni di cui sopra, purchè sia noto uno dei due elementi, o la distanza o l’altezza.
Sempre per collegare lo strumento all’uso nautico con tale metodo, prima dell’invenzione del radar, si misurava la distanza della nave dalla costa. Ovviamente bisognava avere a disposizione una montagna conosciuta e di cui fosse nota l’altezza. Al posto della montagna si usavano anche i fari (la cui altezza è sempre nota con grande precisione).
Per evitare di effettuare il calcolo manualmente e di doversi portare appresso le tavole trigonometriche delle tangenti, gli strumenti dell’antichità riportavano una ulteriore scala sulla quale erano riportati dei coefficienti che altro non erano che le tangenti trigonometriche già precalcolate.
E’ molto probabile che il quadrante di Cristoforo Colombo avesse questa graduazione, mentre sicuramente non aveva quella relativa alle ore solari che, abbiamo visto, è legata ad una sola ben precisa latitudine. Molti quadranti del ‘500 riportano la scala delle tangenti anche se di forma notevolmente diversa da come noi, per maggiore chiarezza, l’abbiamo rappresentata. Nella figura che ripropone le graduazioni del quadrante, la scala delle tangenti è quella in colore blu con i numeri 0.1, 0.2, 0.3, ecc.
Misurato con il quadrante l’angolo di elevazione della sommità di un qualunque oggetto, nota la distanza da tale oggetto, la sua altezza si ricava moltiplicando la distanza per il coefficiente indicato dalla posizione del filo a piombo.
Se è invece nota la sua altezza, questa andrà divisa per il coefficiente per ottenere la distanza. Poiché la scala è abbastanza larga se si vuole una migliore precisione occorrerà utilizzare l’angolo letto ed applicare direttamente le formule citate. Se misurate l’altezza di oggetti vicini e non molto alti, come palazzi, torri, statue, ricordate di aggiungere al risultato la vostra altezza! Il quadrante lavora infatti a livello del vostro occhio.
Considerazioni finali
Lo strumento che abbiamo realizzato è poco più di un giocattolo ma non pensiate che quello di cui disponeva Cristoforo Colombo a bordo della Santa Maria o gli astronomi dell’epoca fosse molto diverso o più preciso del nostro. L’unica differenza consiste solo nel materiale (veniva usato in genere rame, bronzo o ottone) e nelle dimensioni. Abbiamo già detto che quelli degli osservatori astronomici erano enormi, anche due metri e più di raggio ed erano fissati ad una parete in modo da poter effettuare le osservazioni con comodità, stabilità e precisione. Quelli portatili potevano andare dai venti ai quaranta centimetri. E’ chiaro che quanto più è grande il settore circolare e tanto più sono distanziate le tacche dei singoli gradi e quindi lo strumento consente di apprezzare frazioni di grado sempre più piccole. Il nostro quadrante ha un settore graduato di raggio 18 cm. dove i gradi risultano distanziati di circa 3 mm. E’ possibile dunque apprezzare agevolmente fino al terzo di grado (20 primi d’arco) e forse anche ad un quarto (15 primi). Non è poco per uno strumento a visione diretta. In un quadrante da 50 cm. i gradi sono distanziati di quasi 9 mm e si arriva a leggere fino a 6 primi d’arco. Una precisione enorme per uno strumento così elementare e che probabilmente era alla portata di Cristoforo Colombo anche se, pare, non seppe mai sfruttarla adeguatamente. Ho provato a mettere alla prova il quadrante progettato; le altezze misurate di astri, Sole compreso, sono risultate tutte abbondantemente entro un grado di errore e a volte entro il mezzo grado.
Ho voluto misurare l’altezza del faro della mia città che è di 30 mt. I risultati di più osservazioni lette al mezzo grado danno valori compresi tra i 28 e i 33 mt.
Risultati ragguardevoli per un giocattolo, che se realizzato in dimensioni generose, potrebbe trovare la sua dignitosa collocazione anche nell’aula di Scienze di una scuola.
Per farne cosa, qualcuno potrebbe domandare ?
Cito un esempio, ma se ne potrebbero trovare altri; si controlli l’altezza del Sole ad intervalli regolari e si ricostruisca il grafico cartesiano del suo andamento giornaliero. E’ sufficiente effettuare le misure solo al mattino in quanto la curva pomeridiana è esattamente simmetrica a quella antimeridiana. Avendo a disposizione le curve per diversi periodi è possibile confrontare la loro variabilità durante l’anno e correlarla con la durata del giorno e con le temperature stagionali. Potrebbe essere una esperienza pratica interessante e ricca di spunti per più materie di studio. Ancora, misurare l’altezza del Sole a mezzogiorno (magari una volta la settimana) e vedere come cambia durante l’anno e capire quando raggiunge i valori massimi e minimi.
Buon lavoro, o se preferite, buon divertimento!
